Question

已知x₁，x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的兩個實數根．
（1）是否存在實數k，使（2x₁-x₂）（x_l-2x₂）=-

3

2

成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
（2）求使

x1

x2

+

x2

x1

-2的值為整數的實數k的整數值．

Answer 1

分析：（1）把（2x₁-x₂）（x_l-2x₂）=-

3

2

，即2（x₁+x₂）²-9x₁x₂=-1.5，根據一元二次方程根與系數的關系求得方程兩根的和與兩根的積代入即可得到關于k的方程，即可求得k的值，然后判斷是否滿足即可；
（2）根據一元二次方程的根與系數的關系可得

x1

x2

+

x2

x1

-2=4-

4

k+1

，根據

x1

x2

+

x2

x1

-2的值為整數，以及k的范圍即可確定k的取值．

解答：解：（1）根據題意，得
△=（-4k）²-4×4k（k+1）=-16k≥0．
解得k≤0．
又∵k≠0，∴k＜0．
由（2x₁-x₂）（x_l-2x₂）=-

3

2

得
2（x₁²+x₂²）-5x₁x₂=-1.5．
2（x₁+x₂）²-9x₁x₂=-1.5．
2-9×

k+1

4k

=-1.5
18k+18=28k，
解得k=1.8．
經檢驗k=1.8是方程2-9×

k+1

4k

=-1.5的解．
∵k＜0，∴不存在實數k．
（2）原式=

x 2 1 +x 2 2

x1x2

-2=

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

-2=

(x1+x2)2

x1x2

-4=

4

k+1

-4，
∴k+1=1或-1，或2，或-2，或4，或-4
解得k=0或-2，1，-3，3，-5．
∵k＜0．
∴k=-2，-3或-5．

點評：解決本題的關鍵是把所求的代數式整理成與根與系數有關的形式，注意所求值的取舍．