Question

已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點F為BE中點，連結DF、CF.
（1）如圖1,當點D在AB上，點E在AC上，請直接寫出此時線段DF、CF的數量關系和位置關系（不用證明）；
（2）如圖2，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉45°時，請你判斷此時（1）中的結論是否仍然成立，并證明你的判斷；
（3）如圖3，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉90°時，若AD=1，AC=，求此時線段CF的長(直接寫出結果).

Answer 1

（1）DF=CF，且DF⊥CF；（2）（1）中的結論仍然成立，證明見解析；（3）.

試題分析：（1）根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BF，根據∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF；
（2）延長DF交BC于點G，先證明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根據AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因為∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF；
（3）延長DF交BA于點H，先證明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根據旋轉條件可以△ADH為直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC= ，可以求出AB的值，進而可以根據勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．
試題解析：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，點F為BE中點，∴DF=BE，CF=BE. ∴DF=CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.
∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF.
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF.
同理得：∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°.
∴DF=CF，且DF⊥CF．
（2）（1）中的結論仍然成立．證明如下：
如圖，此時點D落在AC上，延長DF交BC于點G．
∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．
∵F為BE中點，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF．
∵AD=DE，∴AD=GB.
∵AC=BC，∴AC-AD="BC-GB." ∴DC=GC．
∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形.
∵DF=GF，∴DF=CF，DF⊥CF．

（3）如圖，延長DF交BA于點H，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE．
∴∠AED=∠ABC=45°.
∵由旋轉可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，
∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE. ∴∠DEF=∠HBF．
∵F是BE的中點，∴EF="BF." ∴△DEF≌△HBF. ∴ED=HB.
∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=4.
∵AD=1，∴ED=BH=1.∴AH=3.
在Rt△HAD中，由勾股定理，得DH=，
∴DF=，∴CF=.
∴線段CF的長為.