Question

（本題滿分14分，其中第（1）、（2）小題各4分，第（3）小題6分）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數的圖像經過點A（-1,1）和點B（2,2），該函數圖像的對稱軸與直線OA、OB分別交于點C和點D．

【小題1】（1）求這個二次函數的解析式和它的對稱軸；
【小題2】（2）求證：∠ABO=∠CBO；
【小題3】（3）如果點P在直線AB上，且△POB
與△BCD相似，求點P的坐標．

Answer 1

【小題1】（1）解：由題意，得………………………………………（1分）
解得………………………………………………………………（1分）
∴所求二次函數的解析式為．……………………（1分）
對稱軸為直線x=1．
【小題2】（2）證明：由直線OA的表達式y=-x，得點C的坐標為（1,-1）．…………（1分）
∵，，∴AB=BC．…………………………………（1分）
又∵，，∴OA=OC．………………………………（1分）
∴∠ABO=∠CBO．
【小題3】（3）解：由直線OB的表達式y=x，得點D的坐標為（1,1）．………………（1分）
由直線AB的表達式，
得直線與x軸的交點E的坐標為（-4,0）．………………………………（1分）
∵△POB與△BCD相似，∠ABO=∠CBO，
∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD．
（i）當∠BOP=∠BDC時，由∠BDC==135°，得∠BOP=135°．
∴點P不但在直線AB上，而且也在x軸上，即點P與點E重合．
∴點P的坐標為（-4,0）．…………………………………………………（2分）
（ii）當∠BOP=∠BCD時，
由△POB∽△BCD，得．
而，，，∴．
又∵，∴．
作PH⊥x軸，垂足為點H，BF⊥x軸，垂足為點F．
∵PH∥BF，∴．
而BF=2，EF=6，∴，．
∴．
∴點P的坐標為（,）．………………………………………………（2分）
綜上所述，點P的坐標為（-4,0）或（,）

解析