Question

【題目】已知函數y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐標系中．
（1）若函數y1的圖象過點（﹣1，0），函數y2的圖象過點（1，2），求a，b的值．
（2）若函數y2的圖象經過y1的頂點．
①求證：2a+b=0；
②當1＜x＜ 時，比較y1 ， y2的大小．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得： ，解得： ，

故a=1，b=1．

（2）

解：①證明：∵y1=ax2+bx=a ，

∴函數y1的頂點為（ ），

∵函數y2的圖象經過y1的頂點，

∴ +b，即b= ，

∵ab≠0，

∴﹣b=2a，

∴2a+b=0．

②∵b=﹣2a，

∴y1=ax2﹣2ax=ax（x﹣2），y2=ax﹣2a，

∴y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1）．

∵1＜x＜ ，

∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．

當a＞0時，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；

當a＜0時，a（x﹣1）（x﹣1）＞0，y1＞y2．

【解析】（1）結合點的坐標利用待定系數法即可得出關于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得出結論；（2）①將函數y1的解析式配方，即可找出其頂點坐標，將頂點坐標代入函數y2的解析式中，即可的出a、b的關系，再根據ab≠0，整理變形后即可得出結論；②由①中的結論，用a表示出b，兩函數解析式做差，即可得出y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1），根據x的取值范圍可得出（x﹣2）（x﹣1）＜0，分a＞0或a＜0兩種情況考慮，即可得出結論．本題考查了二次函數的綜合應用，解題的關鍵是：（1）結合點的坐標利用待定系數法求出函數系數；（2）①函數y1的頂點坐標代入y2中，找出a、b間的關系；②分a＞0或a＜0兩種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題時，利用配方法找出函數y1的頂點坐標，再代入y2中找出a、b間的關系是關鍵．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二元一次方程組的解的相關知識，掌握二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程的解．