Question

【題目】如圖，對稱軸為直線x=的拋物線與y軸交于點C（0，﹣3），與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），AB=5

（1）求A、B兩點的坐標及該拋物線對應的解析式；

（2）D為BC的中點，延長OD與拋物線在第四象限內交于點E，連結AE、BE．

①求點E的坐標；

②判斷ABE的形狀，并說明理由；

（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點P，使得四邊形OBEP是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3；（2）①E（2，﹣2），②△ABE是直角三角形；（3）存在點P，使四邊形OBEP是平行四邊形，坐標為（﹣1，﹣2）．

【解析】試題分析：

（1）由拋物線的對稱軸為直線，與軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），AB=5，可得點A、B的坐標分別為（﹣2，0），B（3，0），由此可設拋物線解析式為： ，再代入點C（0，-3）解出的值即可求得解析式；

（2）①根據線段中點坐標公式由點B、C的坐標可得點D的坐標，由點D的坐標可求得直線OD的解析式；解有OD的解析式和拋物線的解析式組成的方程組即可得到點E的坐標；

②由點A、B、E的坐標可求出AB、BE、AE的長度，根據勾股定理逆定理可判斷出△ABE是直角三角形；

（3）過點E作EP∥OB交拋物線于點P，根據點P和E關于直線對稱，求得點P的坐標，進一步可求得PE的長，若PE=OB，則點P符合要求，否則就不存在符合要求的點P.

試題解析：

（1）∵點A、B關于對稱軸對稱，且AB=5

∴A（﹣2，0），B（3，0），

∴可設拋物線的解析式為： ，

把點C的坐標（0，﹣3）代入得： ，解得： ，

∴該二次函數的解析式為： ，即；

（2）①∵點B、C的坐標分別為：（3，0），（0，﹣3），

∴線段BC的中點D的坐標為： .

設直線OE的解析式為： ，

把 D，代入解得： ，

∴OE的解析式為： ，

由，解得， ，

又因為點E在第四象限，

∴E的坐標為（2，﹣2）.

②∵AE=，BE=，AB=5，

∴AB2=AE2+BE2，

∴△ABE是直角三角形；

（3）存在滿足條件的點P

過E作PE∥OB，交拋物線于點P，

∵點P和點E（2，﹣2）關于對稱軸對稱

∴P的坐標為（﹣1，﹣2），

∴PE=3=OB，

又∵PE∥OB，

∴四邊形OBEP是平行四邊形，

∴存在點P，使四邊形OBEP是平行四邊形，坐標為（﹣1，﹣2）．