Question

已知一次函數y=x+2的圖象分別交x軸，y軸于A、B兩點，⊙O₁過以OB為邊長的正方形OBCD的四個頂點，兩動點P、Q同時從點A出發在四邊形ABCD上運動，其中動點P以每秒個單位長度的速度沿A→B→A運動后停止；動點Q以每秒2個單位長度的速度沿A→O→D→C→B運動，AO₁交y軸于E點，P、Q運動的時間為t（秒）．
（1）直接寫出E點的坐標和S_△ABE的值；
（2）試探究點P、Q從開始運動到停止，直線PQ與⊙O₁有哪幾種位置關系，并指出對應的運動時間t的范圍；
（3）當Q點運動在折線AD→DC上時，是否存在某一時刻t使得S_△APQ：S_△ABE=3：4？若存在，請確定t的值和直線PQ所對應的函數解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知，A（-2，0），B（0，2），
∴OB=OD=2，
∴O₁（1，1），
設AO₁的直線的解析式為y=kx+b，則有0=-2k+b，1=k+b，
解得：b=，k=，
∴y=x+，
∴E（0，），
∴BE=，
S_△ABE=OA•BE=；

（2）直線PQ與⊙O₁有三種位置關系，分別是相離，相切，相交，
當PQ與⊙O₁相離，0＜t＜1；
當PQ與⊙O₁相切時，t=1或t=4；
當PQ與⊙O₁相交時，4＞t＞1；

（3）①Q點運動在折線AD上時，當點Q運動到原點，即Q（0，0）時，點P的坐標為（-1，1），
S_△APQ=1，且滿足S_△APQ：S_△ABE=3：4，此時t=1，直線PQ所對應的函數解析式y=-x．
②Q點運動在折線AD上時，P到了BA方向，根據已知得A（-2，0），B（0，2），
∴OA=2，OB=2，AB=2，OD=OB=2，
O₁（1，1），此時P，Q的位置如圖，過P作PM⊥AD于M，P運動的路程為t，
∴PB=t-AB=t-2，
∴AP=AB-PB=4-t，而△APM為等腰直角三角形，
∴PM=AM=4-t，Q運動的路程為2t，
∴QD=2t-OA-OD=2t-4，
而S_△APQ=S_△APM+S_{四邊形PMDQ}-S_△ADQ，
S_△APM+S_{四邊形PMDQ}=+=t²-4t+8，
S_△ADQ==4t-8，
∴S_△APQ=t²-8t+16，若S_△APQ：S_△ABE=3：4，而S_△ABE=，
∴S_△APQ=1，
∴1=t²-8t+16，
∴t=3或t=5，當t=5時，Q在BC上，不符合題意，舍去，
∴AM=1=PM，
∴OM=1，P（-1，1），
QD=2，∴Q在C點處，
∴Q（2，2），
設直線PQ的函數解析式為y=kx+b，
∴，
∴k=，b=，
∴y=x+．
分析：（1）依題意容易知道O₁的坐標，根據待定系數法可以確定直線AE的解析式，然后求出E的坐標，最后求出S_△ABE；
（2）容易知道當Q運動到O點時PQ與圓相切，此時t=1，所以可以確定其他位置的t的值；
（3）根據已知條件容易知道A（-2，0），B（0，2），OA=2，OB=2然后把S_△APQ，S_△APM，S_{四邊形PMDQ}，S_△ADQ分別用t表示，然后根據已知條件可以列出關于t的方程，解方程就可以確定t的值，從而確定直線PQ的函數解析式．
點評：此題很復雜，把幾何知識和代數知識緊緊的結合起來，還有圖形的變換，還有復雜的計算，多方面考查學生的能力，綜合性很強，對學生的要求比較高．