Question

如下圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（4，3）．平行于對角線AC的直線m從原點O出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線m與矩形OABC的兩邊分別交于點M、N，直線m運動的時間為t（秒）．

(1) 點A的坐標是__________，點C的坐標是__________；

 (2) 當t=       秒或      秒時，MN=AC；

(3) 設△OMN的面積為S，求S與t的函數關系式；

(4) 探求(3)中得到的函數S有沒有最大值？若有，求出最大值；若沒有，要說明理由．

Answer 1

解：(1)（4，0），（0，3）； 

(2) 2，6；

(3) 當0＜t≤4時，OM=t．

由△OMN∽△OAC，得，

∴ ON=，S=． 

當4＜t＜8時，

如圖，

∵ OD=t，∴ AD= t-4．

方法一：

由△DAM∽△AOC，可得AM=，∴ BM=6-．

由△BMN∽△BAC，可得BN==8-t，∴ CN=t-4．

S=矩形OABC的面積-Rt△OAM的面積- Rt△MBN的面積- Rt△NCO的面積

=12--（8-t）（6-）-

=． 

方法二：

易知四邊形ADNC是平行四邊形，∴ CN=AD=t-4，BN=8-t．

由△BMN∽△BAC，可得BM==6-，∴ AM=

以下同方法一．

 (4) 有最大值．

方法一：

當0＜t≤4時，

∵ 拋物線S=的開口向上，在對稱軸t=0的右邊， S隨t的增大而增大，

∴ 當t=4時，S可取到最大值=6；

當4＜t＜8時，

∵ 拋物線S=的開口向下，它的頂點是（4，6），∴ S＜6．

綜上，當t=4時，S有最大值6．

方法二：

∵ S=

∴ 當0＜t＜8時，畫出S與t的函數關系圖像，如下圖所示．

顯然，當t=4時，S有最大值6．