Question

【題目】如圖，線段AB=4，C為線段AB上的一個動點，以AC、BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE，⊙O外接于△CDE，則⊙O半徑的最小值為（　　）

A. 4 B. C. D. 2

Answer 1

【答案】B

【解析】

分別作∠A與∠B角平分線，交點為P．由三線合一可知AP與BP為CD、CE垂直平分線；再由垂徑定理可知圓心O在CD、CE垂直平分線上，則交點P與圓心O重合，即圓心O是一個定點；連OC，若半徑OC最短，則OC⊥AB，由△AOB為底邊4，底角30°的等腰三角形，可求得OC=.

如圖，分別作∠A與∠B角平分線，交點為P，

∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，

∴AP與BP為CD、CE垂直平分線，

又∵圓心O在CD、CE垂直平分線上，則交點P與圓心O重合，即圓心O是一個定點；

連接OC，

若半徑OC最短，則OC⊥AB，

又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB=4，

∴OA=OB，

∴AC=BC=2，

∴在直角△AOC中，OC=ACtan∠OAC=2×tan30°=，

故選B．