Question

【問題】在正方形網格中，如圖（一），△OAB的頂點分別為O（0，0），A（1，2），B（2，-1）．
（1）以點O（0，0）為位似中心，按比例尺3：1在位似中心的同側將△OAB放大為△OA′B′，放大后點A、B的對應點分別為A′、B′．畫出△OA′B′，并寫出點A'、B'的坐標：A′（______，______），B′（______，______）；
（2）在（1）中，若點C（a，b）為線段AB上任一點，寫出變化后點C的對應點C′的坐標（______，______）；
【拓展】在平面內，先將一個多邊形以點O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為k，并且原多邊形上的任一點P，它的對應點P'在線段OP或其延長線上；接著將所得多邊形以點O為旋轉中心，逆時針旋轉一個角度θ，這種經過和旋轉的圖形變換叫做旋轉相似變換，記為O（k，θ），其中點O叫做旋轉相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋轉角．
【探索】如圖（二），完成下列問題：
（3）填空：如圖1，將△ABC以點A為旋轉相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉60°，得到△ADE，這個旋轉相似變換記為A（______，______）；
（4）如圖2，△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，將它作旋轉相似變換，得到△ADE，求線段BD的長．

Answer 1

解：（1）∵以點O（0，0）為位似中心，按比例尺3：1在位似中心的同側將△OAB放大為△OA′B′，
∴如圖所示：A′（3，6），B′（6，-3）；
故答案為：3，6；6，-3；

（2）根據（1）中規律可以得出：若點C（a，b）為線段AB上任一點，
故變化后點C的對應點C′的坐標為：（3a，3b）；
故答案為：3a，3b；

（3）這種經過和旋轉的圖形變換叫做旋轉相似變換，記為O（k，θ），其中點O叫做旋轉相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋轉角．已知1中△ABC以點A為旋轉相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉60°，得到△ADE，
故可得A（2，60°）．
故答案為：（2，60°）；

（4）已知△ABC旋轉相似變換A（，90°），得到△ADE以及AD=×3=4（cm），
可推出∠BAD=90°，
利用勾股定理可求出BD==5（cm）．
分析：（1）利用已知畫出位似圖形，進而得出A′，B′的坐標即可；
（2）利用（1）中點的坐標變化規律得出即可；
（3）依題意已知1中△ABC以點A為旋轉相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉60°，得到△ADE，故可得A的坐標．
（4）利用△ABC旋轉相似變換A（，90°），得到△ADE，可推出∠BAD=90°，利用勾股定理可求出BD的值．
點評：此題主要考查了位似變換以及旋轉的性質以及勾股定理等知識，利用相似變換的性質得出對應點的坐標是解題關鍵．