Question

（2013•太倉市二模）如圖，已知圓心為C（0，1）的圓與y軸交于A，B兩點，與x軸交于D，E兩點，且DE=4

2

．點Q為⊙C上的一個動點，過Q的直線交y軸于點P（0，-8），連結OQ．
（1）直徑AB=

6

；
（2）當點Q與點D重合時，求證：直線PD為圓的切線；
（3）猜想并證明在運動過程中，PQ與OQ之比為一個定值．

Answer 1

分析：（1）利用垂徑定理以及勾股定理求出CD即可得出AB的長；
（2）根據相似三角形的判定和性質得出△COD∽△DOP，進而得出∠CDO=∠DPO，求出CD⊥DP即可得出答案；
（3）利用勾股定理得出：QO ²=x ²+y²，QP²=x ²+（-8-y）²，x ²+（1-y） ²=9，整理得出PQ與OQ的關系．

解答：（1）解：∵圓心為C（0，1）的圓與y軸交于A，B兩點，與x軸交于D，E兩點，且DE=4

2

，
∴DO=OE=2

2

，CO=1，
∴CD=3，
∴AB=2×3=6；

（2）證明：連接CD，
∵

OC

OD

=

OD

OP

=

2

4

，
∠COD=∠DOP=90°，
∴△COD∽△DOP，
∴∠CDO=∠DPO，
∵∠DPO+∠ODP=90°，
∴CD⊥DP，
∵點D在⊙O上，
∴直線PD為圓的切線；

（3）猜想：PQ：OQ=3：1，
證明：作QH⊥y軸于點H，設Q（x，y）
∵點Q在圓上，
∴CQ=3，即QH ²+CH ²=9，
∴x ²+（1-y） ²=9，
分別在Rt△OQH和Rt△PQH中，
得：QO ²=x ²+y²，QP²=x ²+（-8-y）²，
∴QP²=x²-（1-y） ²+（-8-y）²=9（8+2y），
QO ²=x²-（1-y） ²+y²=8+2y，
∴PQ：OQ=3：1．
故答案為：6．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的判定與性質以及勾股定理等知識，熟練應用相似三角形的判定和性質得出是解題關鍵．