Question

【題目】如果一個多位自然數的任意兩個相鄰數位上，左邊數位上的數總比右邊數位上數大1，那么我們把這樣的自然數叫做“妙數”．例如：321，6543，98，…都是“妙數”．

（1）若某個“妙數”恰好等于其個位數的153倍，則這個“妙數”為 ．

（2）證明：任意一個四位“妙數”減去任意一個兩位“妙數”之差再加上1得到的結果一定能被11整除．

（3）在某個三位“妙數”的左側放置一個一位自然數m作為千位上的數字，從而得到一新的四位自然數A，且m大于自然數A百位上的數字，否存在一個一位自然數n，使得自然數（9A+n）各數位上的數字全都相同？若存在請求出m和n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）765（2）證明見解析（3）m=9，n=4

【解析】

試題分析：（1）設這個“妙數”個位數字為a，根據題意判斷“妙數”的尾位數，從而得知這個“妙數”為3位數，列出方程100（x+2）+10（x+1）+x=153x，求解可得；

（2）設四位“妙數”的個位為x、兩位“妙數”的個位為y，分別表示出四位“妙數”和兩位“妙數”，再將四位“妙數”減去任意一個兩位“妙數”之差再加上1的結果除以11判斷結果是否為整數即可；

（3）設三位“妙數”的個位為z，可知A=1000m+111z+210，繼而可得9A+n=9000m+999z+1890+n=1000（9m+z+1）+800+90+n﹣z，由﹣8≤n﹣z≤9、1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）=91000知其百位數一定是8，且該數為5位數，若存在則該數為88888，從而得出，即9m+z=87、n﹣z=﹣2，由m＞z+2知z＜m﹣2，而z=87﹣9m＜m﹣2，解之可得m＞8.9，即可得m值，進一步即可得答案．

試題解析：（1）設這個“妙數”個位數字為a，

若這個“妙數”為4位數，則其個位數字最大為6，根據題意可知這個“妙數”最大為6×153=918，不合題意；

∴這個“妙數”為3位數，根據題意得：100（x+2）+10（x+1）+x=153x，

解得：x=5，

則這個“妙數”為765，

故答案為：765；

（2）由題意，設四位“妙數”的個位為x，則此數為1000（x+3）+100（x+2）+10（x+1）+x=1111x+3210，

設兩位“妙數”的個位為y，則此數為10（y+1）+y=11y+10，

∴=101x﹣y+291，

∵x、y為整數，

∴101x﹣y+291也為整數，

∴任意一個四位“妙數”減去任意一個兩位“妙數”之差再加上1得到的結果一定能被11整除；

（3）設三位“妙數”的個位為z，由題意，得：

A=1000m+100（z+2）+10（z+1）+z=1000m+111z+210，

∴9A+n=9000m+999z+1890+n

=9000m+1000z+1890+n﹣z

=1000（9m+z+1）+800+90+n﹣z，

∵m、n是一位自然數，0≤z≤9，且z為整數，

∴﹣8≤n﹣z≤9，

∵9A+n的百位為8，且1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）=91000，

∴9A+n為五位數，且9A+n=88888，

∴，

∴9m+z=87，n﹣z=﹣2，

∵m＞z+2，

∴z＜m﹣2，

∴z=87﹣9m＜m﹣2，

∴m＞8.9，

∵m是一個自然數，

∴m=9，

于是z=6，n=4，

答：m=9，n=4．