Question

【題目】如圖，AC為矩形ABCD的對角線，將邊AB沿AE折疊，使點B落在AC上的點M處，將邊CD沿CF折疊，使點D落在AC上的點N處．

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)當AB與AC滿足怎樣數(shù)量關系時，四邊形AECF為菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）,證明見解析

【解析】

（1）首先根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)，通過“角邊角”證明△ABE≌△CDF，則DF=BE，然后可得到AF=EC，依據(jù)一組對邊平行且相等四邊形是平行四邊形即可證明AECF是平行四邊形；

（2）若四邊形AECF為菱形，則AE=CE，在Rt△ABC中利用折疊的性質(zhì)可得∠BAE=∠CAE=∠ACB=30°，根據(jù)30°角所對直角邊為斜邊的一半可得.

（1）∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA．

由翻折的性質(zhì)可知：∠EAB=∠BAC，∠DCF=∠DCA，

∴∠EAB=∠DCF，

在△ABE和△CDF中

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴DF=BE，

∴AF=EC，

又∵AF∥EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）時，四邊形AECF為菱形，

若四邊形AECF為菱形，

∴AE=CE，

∴∠CAE=∠ACB，

∵∠BAE=∠CAE，

∴∠BAE=∠CAE=∠ACB=30°，

∴，

∴當時，四邊形AECF為菱形.