Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線AB：y=-2x+8交y軸于點A，交x軸于點B，以AB為底作等腰三角形△ABC的頂點C恰好落在y軸上，連接BC，直線x=2交AB于點D，交BC于點E，交x軸于點G，連接CD．

（1）求證：∠OCB=2∠CBA；

（2）求點C的坐標和直線BC的解析式；

（3）求△DEB的面積；

（4）在x軸上存在一點P使PD-PC最長，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）C（0，3），直線BC解析式為y=-x+3；（3）；（4）P（-6，0）．

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質和外角的性質可證得結論；

（2）可先求得A、B的坐標，則可求得OA=8、OB=4，在設OC=x，則AC=BC=8-x，在Rt△OBC中由勾股定理可列方程，可求得OC的長，則可求得點C的坐標，再利用待定系數法可求得直線BC的解析式；

（3）由直線AB、BC的解析式可分別求得點D、E的坐標，則可求得DE的長，可求得△DEB的面積；

（4）利用三角形三邊關系可知PD-PC＜CD，當P、D、C三點在一條線上時，則有PD-PC=CD，此時其差最長，延長CD交x軸于點P，則該點即為P點，由C、D的坐標可求得直線CD的解析式，則可求得點P的坐標．

（1）證明：

∵△ABC為等腰三角形，

∴∠CAB=∠CBA，∠OCB為外角，

∴∠OCB=∠CAB+∠CBA，

∴∠OCB=2∠CBA；

（2）在y=-2x+8中，令x=0可得y=8，令y=0可求得x=4，

∴A（0，8），B（4，0），

∴OA=8，OB=4，

設OC=x，則AC=BC=8-x，

在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC2=OC2+OB2，

即（8-x）2=x2+42，解得x=3，

∴C（0，3），

設直線BC解析式為y=kx+b，

把B、C點的坐標代入可得

，解得，

∴直線BC解析式為y=-x+3；

（3）直線x=2交AB于點D，交BC于點E，交x軸于點G，

∴D（2，4），E（2，），G（2，0），

∴DE=4-=，且B（4，0），

∴BG=4-2=2，

∴S△DEB=DEBG=××2=；

（4）∵PD-PC＜CD，

∴當P、D、C三點在一條線上時，則有PD-PC=CD，此時其差最長，

延長CD交x軸于點P，則該點即為P點，

設直線CD解析式為y=mx+n，

把C、D坐標代入可得，解得，

∴直線CD解析式為y=x+3，

令y=0可得x+3=0，解得x=-6，

∴P（-6，0）．