Question

已知：如圖，在直徑為10的⊙O中，作兩條互相垂直的直徑AE和BF，在弧EF上取點C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q，求證：四邊形APQB的面積等于25．

Answer 1

分析：連接AF、FE、EB，設AC與EF交于點D，連接DB、DQ、CE，由于AE、BF是⊙O的直徑，AE⊥BF，根據對角線互相垂直平分且相等的四邊形為正方形得到四邊形ABEF是正方形，則S_△ABF=

1

2

S_{正方形ABEF}=

1

2

×

1

2

×10×10=25，根據圓周角定理得到∠DCQ=

1

2

∠AOB=45°，而∠DEQ=45°，則∠DCQ=∠DEQ，根據四點共圓的判定方法得D、C、E、Q在同一個圓上；又AE是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ACE=90°，再利用圓的內接四邊形的性質得到∠DQE=180°-∠ACE=90°，則DQ⊥AE，易得FB∥DQ，
則S_△PBQ=S_△PBD，于是可得S_{四邊形APQB}=S_△APB+S_△QPB=S_△PAB+S_△DPB=S_△DAB=S_△FAB=25．

解答：證明：連接AF、FE、EB，設AC與EF交于點D，連接DB、DQ、CE，如圖，
∵AE、BF是⊙O的直徑，AE⊥BF，
∴四邊形ABEF是正方形，
∴S_△ABF=

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2

S_{正方形ABEF}=

1

2

×

1

2

×10×10=25，
又∵∠DCQ=

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2

∠AOB=45°，
而∠DEQ=45°，
∴∠DCQ=∠DEQ，
∴D、C、E、Q在同一個圓上，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ACE=90°，
∴∠DQE=180°-∠ACE=90°，
∴DQ⊥AE，
而AE⊥BF，
∴FB∥DQ，
∴S_△PBQ=S_△PBD，
∴S_{四邊形APQB}=S_△APB+S_△QPB=S_△PAB+S_△DPB=S_△DAB=S_△FAB=25．

點評：本題考查了圓的綜合題：在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角的度數是它所對的圓心角的度數的一半；直徑所對的圓周角為直角；掌握四點共圓的判定方法和圓的內接四邊形的性質；運用正方形的判定與性質以及同底等高的三角形的面積相等進行幾何計算．