Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：△AEF≌△DEB；

(2)求證：四邊形ADCF是菱形；

(3)若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）10.

【解析】試題分析：(1)利用AAS證明全等.(2)利用（1）中結(jié)論，先證明ADCF是平行四邊形，再利用直角三角形中線性質(zhì)求相鄰邊相等.(3)利用菱形面積公式求面積.

試題解析：

解：(1)證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE.∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE，∴△AFE≌△DBE.

(2)證明：由(1)知△AEF≌△DEB，則AF＝DB.∵DB＝DC，∴AF＝CD.∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∵∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，∴AD＝DC＝BC，

∴四邊形ADCF是菱形．

(3)連接DF，由(2)知AF∥BD，AF＝BD，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴DF＝AB＝5，∴S菱形ADCF＝AC·DF＝×4×5＝10.