Question

【題目】已知 (本題中的角均大于且小于)

(1)如圖1，在內部作，若，求的度數；

(2)如圖2，在內部作，在內，在內，且，，，求的度數；

(3)射線從的位置出發繞點順時針以每秒的速度旋轉，時間為秒(且)．射線平分，射線平分，射線平分．若，則 秒．

Answer 1

【答案】（1）40；（2）84；（3）7.5或15或45

【解析】

（1）利用角的和差進行計算便可；
（2）設，則，，通過角的和差列出方程解答便可；
（3）分情況討論，確定∠MON在不同情況下的定值，再根據角的和差確定t的不同方程進行解答便可．

解：（1））∵∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOD+∠COD=∠AOB+∠COD
又∵∠AOD+∠BOC=160°且∠AOB=120°

∴

（2），

設，則，

則，

（3）當OI在直線OA的上方時，

有∠MON=∠MOI+∠NOI=（∠AOI+∠BOI））=∠AOB=×120°=60°，
∠PON=×60°=30°，
∵∠MOI=3∠POI，
∴3t=3（30-3t）或3t=3（3t-30），
解得t=或15；

當OI在直線AO的下方時，

∠MON═（360°-∠AOB）═×240°=120°，
∵∠MOI=3∠POI，
∴180°-3t=3（60°-）或180°-3t=3（-60°），
解得t=30或45，
綜上所述，滿足條件的t的值為s或15s或30s或45s．