Question

【題目】如圖1，點是直線上一點，點是直線上一點，且MN//PQ．和的平分線交于點．

（1）求證：；

（2）過點作直線交于點（不與點重合），交于點E,

①若點在點的右側，如圖2，求證：；

②若點在點的左側，則線段、、有何數量關系？直接寫出結論，不說理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

(1) 由平行線性質可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分線定義可得,再利用三角形內角和定理即可得∠C=90°,即可證明BC⊥AC;

(2) ①延長AC交PQ點F，先證明AC=FC,再證明△ACD≌△FCE,即可得AD+BE=AB;

②方法與①相同．

解：（1）∵MN∥PQ

∴∠NAB+∠ABQ=180°

∵AC平分∠NAB，BC平分∠ABQ

∴

∴∠BAC+∠ABC==90°

在△ABC中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°

∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90°

∴BC⊥AC;

（2）①延長AC交PQ于點F

∵BC⊥AC

∴∠ACB=∠FCB=90°

∵BC平分∠ABF

∴∠ABC=∠FBC

∴BC=BC

∴△ABC≌△FBC

∴AC=CF，AB=BF

∵MN∥BQ

∴∠DAC=∠EFC

∵∠ACD=∠FCE

∴△ACD≌△FCE

∴AD=EF

∴AB=BF=BE+EF=BE+AD

即：AB=AD+BE

②線段AD，BE，AB數量關系是：AD+AB=BE

如圖3，延長AC交PQ點F,

∵MN//PQ ．

∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC

∵AC平分∠NAB

∴∠BAF=∠FAN

∴∠BAF=∠AFB

∴AB=FB

∵BC⊥AC

∴C是AF的中點

∴AC=FC

在△ACD與△FCE中

∴

∴AD=EF

∵AB=FB=BE-EF

∴AD+AB=BE