Question

【題目】（12分）如圖，以△ABC中的AB、AC為邊分別向外作正方形ADEB、ACGF，

連接DC、BF。（相關(guān)知識(shí)鏈接：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角）

（1）觀察圖形，利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)說(shuō)明：

△ADC繞著點(diǎn)__ ___逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)___ __°得到△ABF。

（2）猜想：CD與BF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并證明你的猜想．

（3）若CD與BF相交于點(diǎn)M，求∠AMF的度數(shù)。

Answer 1

【答案】（1）△ADC繞著點(diǎn)__A _逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)_90_°得到△ABF；

（2）CD⊥BF，CD=BF，證明見(jiàn)解析；

（3）∠AMF=450

【解析】（1）因?yàn)锳D=AB，AC=AF，∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC，故△ABF可看作△ADC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到；
（2）要求兩條線段的長(zhǎng)度關(guān)系，把兩條線段放到兩個(gè)三角形中，利用三角形的全等求得兩條線段相等；根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等以及直角三角形的兩銳角互補(bǔ)，即可證得∠NMC=90°，可證得證BF⊥CD；

（3）過(guò)點(diǎn)A作CD、BF的垂線段，即可求出∠AMF的度數(shù)．
解：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得：AD=AB，AC=AF，
∠DAB=∠CAF=90°，
∴∠DAC=∠BAF=90°+∠BAC，
∴△DAC≌△BAF（SAS），
故△ADC可看作△ABF繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．
故答案為：A逆時(shí)針，90°；

（2）DC=BF，DC⊥BF．
理由：在正方形ABDE中，AD=AB，∠DAB=90°，
又在正方形ACGF，AF=AC，∠FAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC=90°，
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，
∠FAB=∠FAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠FAB，
在△DAC和△FAB中，

AD=AB，∠DAC=∠FAB，AC=AF，

∴△DAC≌△FAB（SAS），
∴DC=FB，∠AFN=∠ACD，
又∵在直角△ANF中，∠AFN+∠ANF=90°，∠ANF=∠CNM，
∴∠ACD+∠CNM=90°，
∴∠NMC=90°
∴BF⊥CD，
即CD與BF的數(shù)量關(guān)系是BF=CD和位置關(guān)系是BF⊥CD．

（3）過(guò)點(diǎn)A作CD、BF的垂線段，并證明相等

得出MA平分∠DMF，則∠AMF=45°． .

“點(diǎn)睛”本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及三角形全等的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)圖形中兩個(gè)三角形的位置關(guān)系解題．