Question

（2005•陜西）如圖，在直角坐標系中，Rt△AOB的頂點坐標分別為A（0，2），O（0，0），B（4，0），△AOB繞O點按逆時針方向旋轉90°得到△COD．
（1）求C、D兩點的坐標；
（2）求經過C、D、B三點的拋物線的解析式；
（3）設（2）中的拋物線的頂點為P，AB的中點為M，試判斷△PMB是鈍角三角形、直角三角形還是銳角三角形，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質可知OB=OD、OA=OC；因此D點的縱坐標就是B點的橫坐標．C點的橫坐標就是A點縱坐標的絕對值．由此可得出C、D兩點的坐標．
（2）可根據C、D、B三點的坐標，用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）本題的關鍵是要看M點在拋物線對稱軸的左側還是右側．根據拋物線的解析式可得出拋物線的頂點為（1，），根據A，B兩點的坐標以及M是AB中點不難求出M的坐標是（2，1）．由此可得出M在P點的右側，過P作出拋物線的對稱軸，很明顯對稱軸與AB相交得出的鈍角要小于∠PMB，因此△PMB是鈍角三角形．
解答：解：（1）由旋轉的性質可知：OC=OA=2，OD=OB=4
∴C、D兩點的坐標分別為C（-2，0）、D（0，4）

（2）設所求拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，根據題意得
解得
∴所求拋物線的解析式為y=-x²+x+4．

（3）答：△PMB是鈍角三角形．
如圖，PH是拋物線y=-x²+x+4的對稱軸，
求得M、P兩點的坐標分別為M（2，1），P（1，）．
∴點M在PH右側，
又∵∠PHB=90°
∴∠PMB＞90°
∴△PMB是鈍角三角形．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形旋轉變換、三角形的外角的特征等知識點．