Question

（2013•連云港模擬）如圖，平面直角坐標系中，直線y=-

4

3

x+8分別交x軸、y軸于點B、點A，點D從點A出發沿射線AB方向以每秒1個單位長的速度勻速運動，同時點E從點B出發沿射線BC方向以每秒

3

5

個單位長的速度勻速運動．設點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥AO于點F，連接DE、EF
（1）當t為何值時，△BDE與△BAO相似；
（2）寫出以點D、F、E、O為頂點的四邊形面積s與運動時間t之間的函數關系；
（3）是否存在這樣一個時刻，此時以點D、F、E、B為頂點的四邊形是菱形？如果存在，求出相應的t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據當

BD

BO

=

BE

AB

，

BD

AB

=

BE

BO

時兩三角形相似，進而求出t的值，即可得出答案；
（2）分別根據①當點D在線段AB上時，②當點D在AB的延長線上時，四邊形OEFD為梯形，進而求出s與t的函數關系即可；
（3）根據（2）中圖形，利用菱形的判定得出t的值即可．

解答：解：（1）∵直線y=-

4

3

x+8分別交x軸、y軸于點B、點A，
∴OB=6，OA=8，
則AD=t，BE=

3

5

t，BD=10-t，
∵△BDE與△BAO具有公共角∠ABO．
∴當

BD

BO

=

BE

AB

，

BD

AB

=

BE

BO

時兩三角形相似．
即

10-t

6

=

3 5 t

10

或

10-t

10

=

3 5 t

6

，
解得t=5或

250

34

，
∴當t為5或

250

34

時，△BDE與△BAO相似．

（2）①當點D在線段AB上時，
∵DF⊥OA，BO⊥AO，∴DF∥BE，∴△ADF∽△ABO，
∴DF：BO=AD：AB=AF：OA，∴DF=

3

5

t，AF=

4

5

t，
∴BE=DF，∴四邊形DFEB為平行四邊形，S_△DEF=S_△BEF=

1

2

S_DFEB，
∴四邊形OFDE的面積等于△BOF的面積，
∴s=

1

2

BO•OF=

1

2

×6×（8-

4

5

t）=24-

12

5

t（0＜t≤10）．
②當點D在AB的延長線上時，四邊形OEFD為梯形，
s=

1

2

（OE+DF）•OF=

1

2

×（

3

5

t-6+

3

5

t）×

4

5

（t-10）=

12

25

t²-

36

5

t+24（t＞10）；

（3）①當點D在線段AB上時，已知四邊形DFEB為平行四邊形，只需保證BD=BE，
即可保證四邊形DFEB是菱形，
即10-t=

3

5

，
解得t=

25

4

．
②當點D在AB的延長線上時，易證四邊形BEFD為平行四邊形，只需保證BD=BE，
即可保證四邊形DFEB是菱形，
即t-10

3

5

t，
解得t=25．
綜上所述，當t的值為

25

4

或25時，以點D、F、E、B為頂點的四邊形是菱形．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及菱形的判定和梯形的面積求法等知識，利用分類討論得出t的值是解題關鍵．