Question

已知數軸上A、B兩點所表示的數分別為a和b．
（1）如圖，a=-1，b=7時
①求線段AB的長；
②若點P為數軸上與A、B不重合的動點，M為PA的中點，N為PB的中點，當點P在數軸上運動時，MN的長度是否發生改變？若不變，并求出線段MN的長；若改變，請說明理由．
（2）不相等的有理數a、b、c在數軸上的對應點分別為A、B、Q，如果|a-c|-|b-c|=|a-b|，那么，Q點應在什么位置？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據數軸與絕對值知，AB=|OB|+|OA|；
②分兩種情況進行討論：①當點P在點A的左側運動時；②當點P在A、B兩點之間運動時；③當點P在點A的右側運動時．分三種情況討論可求線段MN的長；
（2）分b＞a時；a＞b時；分兩種情況討論可得Q點應在的位置．

解答：解：（1）①AB=7-（-1）=8；     
②當點P在點A的左側運動時
MN=NP-MP=

1

2

BP-

1

2

AP=

1

2

AB=4    
當點P在A、B兩點之間運動時；
MN=MP+NP=

1

2

AP+

1

2

BP=

1

2

AB=4    
當點P在點A的右側運動時
MN=MP-NP=

1

2

AP-

1

2

BP=

1

2

AB=4；     

（2）|a-c|是A，Q間的距離，|b-c|是B，Q間的距離，|a-b|是A，B間的距離．
|a-c|-|b-c|=|a-b|，
當b＞a時，Q在B的右側；
當a＞b時，Q在B的左側．

點評：本題主要考查了數軸、比較線段的才長短．解答此題時，既采用了形象、直觀的“數形結合”的數學思想，又利用了不至于漏解的分類討論的數學思想．