Question

如圖，小明在研究正方形ABCD的有關問題時，得出：“在正方形ABCD中，如果點E是CD的中點，點F是BC邊上的一點，且∠FAE =∠EAD，那么EF⊥AE”．他又將“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意平行四邊形”(如圖2、圖3、圖4)，其他條件不變，發現仍然有“EF⊥AE”的結論．

你同意小明的觀點嗎？若同意，請結合圖1－4加以證明；若不同意，請說明理由．

Answer 1

解:同意.

方法一:

證明:如圖(略)①,延長AE交BC的延長線于點G.

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AD//BC, ∴∠D=∠ECG,

∵E為DC的中點, ∴DE=EC,

又∵∠DEA=∠CEG, ∴△ADE≌△GCE(ASA)

∴AE=GE, ∠DAE=∠G

∵∠FAE=∠DAE, ∴∠FAE=∠G.

∴FA=FG.

∴EF⊥AE

方法二:

證明: 如圖②,在AF上截取AG=AD,連接EG、GC.

∵∠FAE=∠EAD,AE=AE, ∴△AEG≌△AED(SAS).

∴DE=GE, ∠AGE=∠D, ∠1=∠2.

∵點E是DC的中點，∴EC=DE, ∴EC=GE.

∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AD//BC, ∴∠BCD+∠D=180°.

∵∠EGF+∠AGE=180°, ∴∠BCD=∠EGF

∵EG=EC, ∴∠EGC=∠ECG. ∴∠FGC=∠FCG. ∴GF=FC.

又∵EF=EF, ∴△GEF≌△CEF(SSS)

∴∠3=∠4.

∴∠AEF=∠2+∠3=(∠1+∠2+∠3+∠4)=×180°=90°.

∴EF⊥AE