Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，∠BAC=60°，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OD．

∵OA=OB，CD=BD，

∴OD∥AC．

∴∠ODE=∠CED．

又∵DE⊥AC，

∴∠CED=90°．

∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．

∴DE是⊙O的切線

（2）解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，

∴∠BOD=∠BAC=60°，

∠C=∠0DB．

又∵OB=OD，

∴△BOD是等邊三角形．

∴∠C=∠ODB=60°，

CD=BD=5．

∵DE⊥AC，

∴DE=CDsin∠C=5×sin60°= ．

【解析】要證明直線與圓相切，常添加的輔助線是“作垂直，證半徑”或“連半徑證垂直”（1）要證DE為⊙O的切線；因為點D在⊙O上，所以添加的輔助線是“連半徑證垂直”，由此連接OD，抓住已知條件點D是線段BC的中點，點O是AB的中點根據三角形中位線的定義及定理，可證得OD∥AC，由DE⊥AC，可得到OD⊥DE，即可得出結論；（2）由（1）的證明過程可以知道OD∥AC，又有∠BAC=60°，易證△BOD是等邊三角形，即可得到BD、CD的長，再根據銳角三角形函數或勾股定理可以求得DE的長。