Question

【題目】如圖，點B的坐標是（4，4），作BA⊥x軸于點A，作BC⊥y軸于點C，反比例函數（k＞0）的圖象經過BC的中點E，與AB交于點F，分別連接OE、CF，OE與CF交于點M，連接AM．

（1）求反比例函數的函數解析式及點F的坐標；

（2）你認為線段OE與CF有何位置關系？請說明你的理由．

（3）求證：AM=AO．

Answer 1

【答案】（1）y=，點F的坐標是（4，2）；（2）線段OE與CF的位置關系是OE⊥CF，理由見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）求出E的坐標，求出反比例函數的解析式，把x=4代入即可求出F的坐標；

（2）證△OCE≌△CBF，推出∠COE=∠BCF，求出∠ECF+∠CEO=90°即可；

（3）過M作MN⊥OC于N，證△CMO和△ECO相似，求出CM、OM，根據三角形的面積公式求出MN，根據勾股定理求出ON，得出M的坐標，根據勾股定理求出AM的值即可．

（1）解：∵正方形ABCO，B（4，4），E為BC中點，

∴OA=AB=BC=OC=4，CE=BE=2，F的橫坐標是4，

∴E的坐標是（2，4），

把E的坐標代入y=得：k=8，

∴y=，

∵F在雙曲線上，

∴把F的橫坐標是4代入得：y=2，

∴F（4，2），

答：反比例函數的函數解析式是y=，點F的坐標是（4，2）．

（2）線段OE與CF的位置關系是OE⊥CF，

理由是：∵E的坐標是（2，4），點F的坐標是（4，2），

∴AF=4﹣2=2=CE，

∵正方形OABC，

∴OC=BC，∠B=∠BCO=90°，

∵在△OCE和△CBF中

，

∴△OCE≌△CBF，

∴∠COE=∠BCF，

∵∠BCO=90°，

∴∠COE+∠CEO=90°，

∴∠BCF+∠CEO=90°，

∴∠CME=180°﹣90°=90°，

即OE⊥CF．

（3）證明：∵OC=4，CE=2，由勾股定理得：OE=2，

過M作MN⊥OC于N，

∵OE⊥CF，

∴∠CMO=∠OCE=90°，

∵∠COE=∠COE，

∴△CMO∽△ECO，

∴==，

即==，

解得：CM=，OM=，

在△CMO中，由三角形的面積公式得：×OC×MN=×CM×OM，

即4MN=×，

解得：MN=，

在△OMN中，由勾股定理得：ON==，

即M（，），

∵A（4，0），

∴由勾股定理得：AM=4=AO，

即AM=AO．