Question

【題目】在Rt△ABO中，∠AOB=90°，OA=，OB=4，分別以OA、OB邊所在的直線建立平面直角坐標系，D為x軸正半軸上一點，以OD為一邊在第一象限內作等邊△ODE．

（1）如圖①，當E點恰好落在線段AB上時，求E點坐標；

（2）在（Ⅰ）問的條件下，將△ODE沿x軸的正半軸向右平移得到△O′D′E′，O′E′、D′E′分別交AB于點G、F（如圖②）求證OO′=E′F；

（3）若點D沿x軸正半軸向右移動，設點D到原點的距離為x，△ODE與△AOB重疊部分的面積為y，請直接寫出y與x的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）E（1，）；（2）證明見解析；（3）見解析.

【解析】（1）由題意作輔助線，作EH⊥OB于點H，由BO=4，求得OE，然后求出OH，EH，從而得出點E的坐標；

（2）假設存在，由OO′=4-2-DB，而DF=DB，從而得到OO′=EF；

（3）根據題意分三種情況寫出解析式即可．

（1）作EH⊥OB于點H，

tan∠ABO===，

∴∠ABO=30°，

∵△OED是等邊三角形，

∴∠EOD=60°．

又∵∠ABO=30°，

∴∠OEB=90°．

∵BO=4，

∴OE=OB=2．

∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30°

∴OH=1，EH=．

∴E（1，）；

（2）∵∠ABO=30°，∠EDO=60°，

∴∠ABO=∠DFB=30°，

∴D′F=D′B．

∴OO′=4﹣2﹣D′B=2﹣D′B=2﹣D′F=E′D′﹣FD′=E′F；

（3）當0＜x≤2時，△ODE與△AOB重疊部分的面積為△ODE面積=x2，

當2＜x＜4時，△ODE與△AOB重疊部分的面積為四邊形GO′DF面積=﹣x2+2x﹣2，

當x≥4時，△ODE與△AOB重疊部分的面積為2．