Question

（2012•天河區一模）如圖，直線l經過點A（1，0），且與曲線y=

m

x

（x＞0）交于點B（2，1）．過點P（p，p-1）（p≥2）作x軸的平行線分別交曲線y=

m

x

（x＞0）和y=-

m

x

（x＜0）于M，N兩點．
（1）求m的值及直線l的解析式；
（2）是否存在實數p，使得S_△AMN=4S_△APM？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把B（2，1）代入y=

m

x

（x＞0）即可得到m的值；然后利用待定系數法求出直線l的解析式；
（2）由于P點坐標為（p，p-1）得到點P在直線l上，則點M、N的縱坐標都為p-1，得到M（

2

p-1

，p-1），N（-

2

p-1

，p-1），可得MN=

4

p-1

，計算出S_△AMN=

1

2

•

4

p-1

•（p-1）=2，
討論：當p=2時，p-1=1，此時P與B重合，△APM不存在；當p＞2時，S_△APM=

1

2

(p-

2

p-1

)(p-1)=

1

2

（p²-p-2），利用S_△AMN=4S_△APM，得到4•

1

2

（p²-p-2）=2，然后解方程得到
解得p1=

1- 13

2

（不合題意，舍去），p₂=

1+ 13

2

．

解答：解：（1）把B（2，1）代入y=

m

x

（x＞0）得m=2×1=2，
設直線l的解析式是y=kx+b，
把A（1，0），B（2，1）代入y=kx+b中，得

k+b=0 2k+b=1

，解得

k=1 b=-1.

∴直線l的解析式是y=x-1；

（2）存在．理由如下：
∵P點坐標為（p，p-1），
∴點P在直線l上，
而MN∥x軸，
∴點M、N的縱坐標都為p-1，
∴M（

2

p-1

，p-1），N（-

2

p-1

，p-1），
∴MN=

4

p-1

，
∴S_△AMN=

1

2

•

4

p-1

•（p-1）=2，
①當p=2時，p-1=1，此時P與B重合，△APM不存在；
②當p＞2時，如圖，
S_△APM=

1

2

(p-

2

p-1

)(p-1)=

1

2

（p²-p-2）．
∵S_△AMN=4S_△APM，
∴4•

1

2

（p²-p-2）=2，
整理得，p²-p-3=0，解得p1=

1- 13

2

（不合題意，舍去），p₂=

1+ 13

2

．
∴滿足條件的p的值為

1+ 13

2

．

點評：本題考查了反比例函數綜合題：點在反比例函數圖象上，點的橫縱坐標滿足其解析式；會計算三角形的面積．