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18、古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10 …這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、16┅這樣的數稱為“正方形數”．從圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．
請再寫出一個符合這一規律的等式：

25=10+15（答案不唯一）

．

分析：題目中“三角形數”的規律為1、3、6、10、15、21…“正方形數”的規律為1、4、9、16、25…
根據題目已知條件：從圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．可得出最后結果．

解答：解：根據題目中的已知條件結合圖象可以得到任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和，再觀察出“三角形數”和“正方形數”的變化規律，
可以再寫出一個符合這一規律的等式：25=10+15．

點評：這是一道開放性的規律題，答案不唯一，首先要觀察出“三角形數”和“正方形數”的變化規律，再結合圖象得出結果．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2013•澄海區模擬）古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10 …，這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16…，這樣的數稱為“正方形數”．
（1）第5個三角形數是

，第n個“三角形數”是

n(n+1)

，第5個“正方形數”是

，第n個正方形數是

n²

；
（2）經探究我們發現：任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．
例如：①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10，④

25=10+15

，⑤

36=15+21

，…．
請寫出上面第4個和第5個等式；
（3）在（2）中，請探究第n個等式，并證明你的結論．

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科目：初中數學 來源： 題型：

古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，…這樣的數稱為“三角形數”（如圖①），而把1，4，9，16，…這樣的數稱為“正方形數”（如圖②）．如果規定a₁=1，a₂=3，a₃=6，a₄=10，…；b₁=1，b₂=4，b₃=9，b₄=16，…；y₁=2a₁+b₁，y₂=2a₂+b₂，y₃=2a₃+b₃，y₄=2a₄+b₄，…，那么，按此規定，y₆=

，y_n=

2n²+n

（用含n的式子表示，n為正整數）．

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科目：初中數學 來源： 題型：

古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，…這樣的數稱為“三角數”；把1，4，9，16，…這樣的數稱為“正方形數”．從圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以寫成兩個相鄰的“三角形數”之和，“正方形數”36可以寫成兩個相鄰的“三角形數”

與

之和；“正方形數”n²可以寫成兩個相鄰的“三角形數”

n(n-1)

與

n(n+1)

之和，其中n為大于1的正整數．

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科目：初中數學 來源： 題型：

古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1，3，6，10…這樣的數稱為“三角形數”，而把1，4，9，16…這樣的數稱為“正方形數”．觀察下面的點陣圖和相應的等式，探究其中的規律：
（1）下圖反映了任何一個三角形數是如何得到的，認真觀察，并在④后面的橫線上寫出相應的等式；

①1=1
②1+2=

(1+2)×2

=3
③1+2+3=

(1+3)×3

=6
④

1+2+3+4=

(1+4)×4

1+2+3+4=

(1+4)×4

；
（2）通過猜想，寫出（1）中與第九個點陣相對應的等式

1+2+3+…+9=

(1+9)×9

1+2+3+…+9=

(1+9)×9

；
（3）從下圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之和．結合（1）觀察下列點陣圖，并在⑤看面的黃線上寫出相應的等式．

①1=1²
②1+3=2²
③3+6=3²
④6+10=4²
⑤

10+15=5²

；
（4）通過猜想，寫出（3）中與第n個點陣相對應的等式

(1+n-1)(n-1)

(1+n)×n

=n²

(1+n-1)(n-1)

(1+n)×n

=n²

；
（5）判斷225是不是正方形數，如果不是，說明理由；如果是，225可以看作哪兩個相鄰的“三角形數”之和？

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