Question

如圖，拋物線經過點A（0，），直線交拋物線于點P（點P不與點A重合）．
（1）①直接寫出c的值；
②求證：點P的橫坐標為2k+2；
（2）過點P作直線y=2kx+b交拋物線于點B，交y軸于點C．已知PB=2BC．
①求點P的坐標；（友情提示：如需要，可以運用以下定理：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩實數根，則有
②求tan∠APB的值．

Answer 1

（1）解：①∵拋物線經過點A（0，），
∴，

②證明：設P（a，），
則
解得a=0（舍去），或a=2k+2，
即點P的橫坐標是2k+2；

（2）解：①∵P（a，）
依題意：，
∴，
∵PB=2BC，
∴PC=3BC，即點B的橫坐標是，
∴點B，
依題意
∴，
∴，
解得a=3，
即點P（3，1），
另解：由，可得x²-（4k+2）x-2b-1=0，
根據根與系數的關系x_B+（2k+2）=4k+2，
∴x_B=2k
∵PB=2BC，∴PC=3BC，∴2k+2=6k，
解得，可知a=3，即點P（3，1），

②由上題可知：直線PB的解析式y=x-2，
∴點C（0，-2），
作PE⊥y軸于點E，則PE=CE=3，
∴，
作AD⊥PC于點D，則AD=CD=，
∴PD=PC-CD=3-=，
在Rt△APD中，．
分析：（1）①將A（0，），帶入函數解析式求出c的值即可，
②設P（a，），分別將橫坐標a帶入一次函數與二次函數求出即可；
（2）①由P（a，）依題意：，用a表示出k，得出PC=3BC，即點B的橫坐標是，
進而得出B點坐標，再帶入函數解析式得出k=a-，即可得出a的值，得出P點坐標即可；
②作PE⊥y軸于點E，則PE=CE=3，即可得出PC的長，再作AD⊥PC于點D，則AD=CD=，得出PD的長，在Rt△APD中，即可得出tan∠APB的值．
點評：此題主要考查了二次函數綜合應用以及銳角三角函數關系和等腰直角三角形的性質等知識，根據等腰直角三角形的性質得出CD的長是解題關鍵．