Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過A（-1，0），B（3，0）與點C（0，3），連接BC，點P是直線BC是上方的一個動點（且不與B，C重合）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求△PBC的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x＋3（2）

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）如圖，過點P做PD垂直x軸，交BC于點F，連接PB，PC，根據S△PBC＝S△PBF＋S△PFC＝PF(OD＋DB)構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．

（1）設拋物線方程為y＝ax2＋bx＋c（a≠0）將A（-1，0），B（3，0）,C（0，3）三點代入可得：，

解得，

所以拋物線的解析式為：y＝x2+2x＋3;

（2）如圖，過點P做PD垂直x軸，交BC于點F，連接PB，PC，

設BC的直線方程為y＝kx＋b，

代入B點，C點可得，解得

所以直線AC為y＝-x＋3，

設P點坐標為（m，m2+2m＋3），F點的坐標為（m，-m＋3），

所以|PF|＝m2+2m＋3（-m＋3）＝m2+3m，

∵S△PBC＝S△PBF＋S△PFC

＝PF(OD＋DB)

＝PFOB，

∴S△PBC＝ (m2+3m)×3＝ (x-)2＋ (0＜m＜3)

所以當m＝時，S△PBC最大，最大值為．