Question

【題目】（本題滿分8分）

在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O.若四邊形ABCD是正方形如圖1：則有AC=BD，AC⊥BD．

旋轉圖1中的Rt△COD到圖2所示的位置，AC’與BD’有什么關系？（直接寫出）

若四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋轉Rt△COD至圖3所示的位置，AC’與BD’又有什么關系？寫出結論并證明.

Answer 1

【答案】圖2結論：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由見解析；圖3結論：BD′=AC′，AC′⊥BD’，理由見解析.

【解析】

試題分析：圖2：根據四邊形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根據旋轉的性質得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代換得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根據全等三角形的性質得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到結論；

圖3：根據四邊形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=OA，OD=OC，根據旋轉的性質得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，根據相似三角形的性質得到BD′=AC′，于是得到結論．

試題解析：圖2結論：AC′=BD′，AC′⊥BD′，

理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，

∵將Rt△COD旋轉得到Rt△C′OD′，

∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，

∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，

在△AOC′與△BOD′中，

，

∴△AOC′≌△BOD′，

∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，

∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，

∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，

∴AC′⊥BD′；

圖3結論：BD′=AC′，AC′⊥BD’

理由：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，

∵∠ABC=60°，

∴∠ABO=30°，

∴OB=OA，OD=OC，

∵將Rt△COD旋轉得到Rt△C′OD′，

∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，

∴OD′=OC′，∠AOC′=∠BOD′，

∴，

∴△AOC′∽△BOD′，

∴，∠OAC′=∠OBD′，

∴BD′=AC′，

∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，

∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，

∴AC′⊥BD′．