Question

【題目】如圖，∠AEF＝80°，且∠A＝x°，∠C＝y°，∠F＝z°．若＋|y－80－m|＋|z－40|＝0（m為常數，且0＜m＜100）

(1) 求∠A、∠C的度數（用含m的代數式表示）

(2) 求證：AB∥CD

(3) 若∠A＝40°，∠BAM＝20°，∠EFM＝10°，直線AM與直線FM交于點M，直接寫出∠AMF的度數

Answer 1

【答案】(1) ∠A＝m＋20°，∠C＝m＋80°；(2)見解析； (3)50°、70°、30°、10°.

【解析】

（1）根據二次根式和絕對值的非負數性質解答即可；（2）過點F作FG∥AB，過點E作EH∥AB，可知EH//FG，根據平行線性質可證明∠BAE＝∠AEH＝m＋20°，∠EFG＝∠FEH，進而證明∠EFG＝∠AEF－∠AEH＝80°－(m＋20°)＝60°－m，由∠CFG＋∠FCD＝y＋z＋80°－x＝80°＋m＋40°＋80°－m－20°＝180°，通過判定定理即可證明結論；（3）當∠A＝40°時，∠C＝100°，分情況討論AM和FM的位置，計算即可；

(1) ∵＋|y－80－m|＋|z－40|＝0（m為常數，且0＜m＜100），

∴x-m-20=0，y-80-m=0，z-40=0，

∴∠A＝x°=m＋20°，∠C＝y°=m＋80°，z=40°，

(2) 過點F作FG∥AB，過點E作EH∥AB，

∴EH∥FG，

∴∠BAE＝∠AEH＝m＋20°，∠EFG＝∠FEH，

∴∠EFG＝∠AEF－∠AEH＝80°－(m＋20°)＝60°－m，

∵∠CFG＋∠FCD＝y＋z＋80°－x＝80°＋m＋40°＋80°－m－20°＝180°，

∴AB∥CD，

(3) 當∠A＝40°時，∠C＝100°，

如圖，分為四種情況:

延長FE交AM于N，

∵∠BAE=40°，∠BAM=20°，

∴∠MAE=20°，

∵∠AEF=80°，

∴∠ANE=80°-20°=60°，

∴∠AMF=60°-10°=50°，

∵∠AGF=∠MFE+∠AEF=10°+80°=90°，

∴∠AMF=90°-∠MAE=70°，

∵∠BAM=20°，∠BAE=40，°

∴∠EAM=60°，

∵∠AHF=∠MFE+∠AEF=90°，

∴∠AMF=90°-∠EAM=30°，

延長AE交FM于O，

∵∠AEF=∠EFO+∠AOF=80°，

∴∠AOF=80°-10°=70°，

∴∠AMF=∠AOF-∠MAF=70°-60°=10°，

綜上所述：∠AMF的度數分別為：50°；70°；30°；10°.