Question

（2013年廣東梅州10分）如圖，已知拋物線y=2x²﹣2與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

（1）寫出以A，B，C為頂點的三角形面積；
（2）過點E（0，6）且與x軸平行的直線l₁與拋物線相交于M、N兩點（點M在點N的左側），以MN為一邊，拋物線上的任一點P為另一頂點做平行四邊形，當平行四邊形的面積為8時，求出點P的坐標；
（3）過點D（m，0）（其中m＞1）且與x軸垂直的直線l₂上有一點Q（點Q在第一象限），使得以Q，D，B為頂點的三角形和以B，C，O為頂點的三角形相似，求線段QD的長（用含m的代數式表示）．

Answer 1

解：（1）∵y=2x²﹣2，∴當y=0時，2x²﹣2=0，x=±1。
∴點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（1，0），AB=2。
又當x=0時，y=﹣2，∴點C的坐標為（0，﹣2），OC=2。
∴S_△ABC=AB•OC=×2×2=2。
（2）將y=6代入y=2x²﹣2，得2x²﹣2=6，x=±2，
∴點M的坐標為（﹣2，6），點N的坐標為（2，6），MN=4。
∵平行四邊形的面積為8，∴MN邊上的高為：8÷4=2。
∴P點縱坐標為6±2。
①當P點縱坐標為6+2=8時，2x²﹣2=8，x=±。
∴點P的坐標為（，8）或（，8）。
②當P點縱坐標為6﹣2=4時，2x²﹣2=4，x=±，
∴點P的坐標為（，4）或（，4）。
綜上所述，當平行四邊形的面積為8時，點P的坐標為（，8）或（，8）或（，4）或（，4）。
（3）∵點B的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，﹣2），∴OB=1，OC=2。
∵∠QDB=∠BOC=90°，
∴以Q，D，B為頂點的三角形和以B，C，O為頂點的三角形相似時，分兩種情況：
①OB與BD邊是對應邊時，△OBC∽△DBQ，則，即，
解得DQ=2（m﹣1）=2m﹣2。
②OB與QD邊是對應邊時，△OBC∽△DQB，則，即，
解得。
綜上所述，線段QD的長為2m﹣2或。

解析