Question

【題目】某校數學興趣小組開展了一次課外活動，過程如下：如圖①，正方形ABCD中，AB=4，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點與D點重合．三角板的一邊交AB于點P，另一邊交BC的延長線于點Q．

（1）求證：AP=CQ；
（2）如圖②，小明在圖1的基礎上作∠PDQ的平分線DE交BC于點E，連接PE，他發現PE和QE存在一定的數量關系，請猜測他的結論并予以證明；
（3）在（2）的條件下，若AP=1，求PE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°，AD=BC=CD=AB=4，

∵∠PDQ=90°，

∴∠ADP=∠CDQ，

在△APD和△CQD中，

，

∴△APD≌△CQD（ASA），

∴AP=CQ

（2）解；PE=QE，理由如下：

由（1）得：△APD≌△CQD，

∴PD=QD，

∵DE平分∠PDQ，

∴∠PDE=∠QDE，

在△PDE和△QDE中，

，

∴△PDE≌△QDE（SAS），

∴PE=QE

（3）解：由（2）得：PE=QE，由（1）得：CQ=AP=1，

∴BQ=BC+CQ=5，BP=AB﹣AP=3，

設PE=QE=x，則BE=5﹣x，

在Rt△BPE中，由勾股定理得：32+（5﹣x）2=x2，

解得：x=3.4，

即PE的長為3.4

【解析】（1）由正方形的性質得出∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°，AD=BC=CD=AB=4，證出∠ADP=∠CDQ，由ASA證明△APD≌△CQD，得出對應邊相等即可；（2）由全等三角形的性質得出PD=QD，證出∠PDE=∠QDE，由SAS證明△PDE≌△QDE，得出對應邊相等即可；（3）由（2）和（1）得出PE=QE，CQ=AP=1，求出BQ=BC+CQ=5，BP=AB﹣AP=3，設PE=QE=x，則BE=5﹣x，在Rt△BPE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．