Question

【題目】如圖，DE是⊙O的直徑，過點D作⊙O的切線AD，C是AD的中點，AE交⊙O于點B.

(1)求證：BC是⊙O的切線；

(2)若⊙O半徑為1，BC=，求AE的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）連接OB，由AD為圓的切線，利用切線的性質得到OD垂直于AD，通過證明△ODC≌△OBC可得∠OBC=∠D=90°，即可得出BC為圓O的切線．

（2）連接BD，根據直徑所對的圓周角是直角得△ABD是直角三角形，由C為AD的中點得AD=3，再根據勾股定理可求出AE的長.

詳解：（1）證明：連接OB

∵點O，C分別是DE，AD的中點，

∴CO∥AE.

∴∠OEB=∠DOC，∠OBE=∠BOC.

∵OE=OB,

∴∠OEB=∠OBE.

∴∠DOC=∠BOC.

∵OB=OD，OC=OC，

∴△ODC≌△OBC .

∴∠D=∠OBC.

∵AD是⊙O的切線，DE是⊙O的直徑，

∴∠D=90°.

∴∠OBC=90°，即 OB⊥BC.

∴BC是⊙O切線 .

（2）連接BD，

∵DE是⊙O的直徑，

∴∠DBE=90°.

在Rt△ABD中，C為AD的中點，

∴BC=AD=.

∴AD=3.

在Rt△ADE中，