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【題目】如圖，點，在拋物線上，且在該拋物線對稱軸的同側（點在點的左側），過點、分別作軸的垂線，分別交軸于點、，交直線于點、．設為四邊形的面積．則下列關系正確的是( )

A. S=y2+y1 B. S=y2+2y1 C. S=y2-y1 D. S=y2-2y1

【答案】C

【解析】

首先根據題意可求得：y1，y2的值，A與C的坐標，即可用x1與x2表示出AB，CD，BD的值，易得四邊形ABCD是直角梯形，即可得S=（AB+CD）BD，然后代入其取值，整理變形，即可求得S與y1、y2的數量關系式.

解：根據題意得：y1=ax12+bx1+c，y2=ax22+bx2+c，

點A的坐標為：（x1，2ax1+b），點C的坐標為：（x2，2ax2+b），

∴AB=2ax1+b，CD=2ax2+b，BD=x2-x1，

∵EB⊥BD，CD⊥BD，

∴AB∥CD，

∴四邊形ABCD是直角梯形，

∴S=（AB+CD）BD=（2ax1+b+2ax2+b）（x2-x1）=a（x2+x1）（x2-x1）+b（x2-x1）=（ax22+bx2）-（ax12+bx1）=（ax22+bx2+c）-（ax12+bx1+c）=y2-y1．

即S=y2-y1．

故選：C.

練習冊系列答案

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交點，CD=4，則線段DF的長為（）

A.4B.5C.6D.8

查看答案和解析>>

科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，∠ABC=30°，過點B作⊙O的切線BD，與CA的延長線交于點D，與半徑AO的延長線交于點E，過點A作⊙O的切線AF，與直徑BC的延長線交于點F．

（1）求證：△ACF∽△DAE；

（2）若S△AOC=，求DE的長；

（3）連接EF，求證：EF是⊙O的切線．

【答案】(1) 見解析; (2)3 ;(3)見解析.

【解析】試題分析：（1）根據圓周角定理得到∠BAC=90°，根據三角形的內角和得到∠ACB=60°根據切線的性質得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到結論；

（2）根據S△AOC=，得到S△ACF=，通過△ACF∽△DAE，求得S△DAE=，過A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH=DH=DE，由三角形的面積公式列方程即可得到結論；

（3）根據全等三角形的性質得到OE=OF，根據等腰三角形的性質得到∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，過O作OG⊥EF于G，根據全等三角形的性質得到OG=OA，即可得到結論．

試題解析：（1）證明：∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=30°，∴∠ACB=60°

∵OA=OC，∴∠AOC=60°，∵AF是⊙O的切線，∴∠OAF=90°，∴∠AFC=30°，∵DE是⊙O的切線，∴∠DBC=90°，∴∠D=∠AFC=30，∵∠DAE=ACF=120°，∴△ACF∽△DAE；

（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，∴∠CAF=30°，∴∠CAF=∠AFC，∴AC=CF，∴OC=CF，∵S△AOC=，∴S△ACF=，∵∠ABC=∠AFC=30°，∴AB=AF，∵AB=BD，∴AF=BD，∴∠BAE=∠BEA=30°，∴AB=BE=AF，∴，∵△ACF∽△DAE，∴=，∴S△DAE=，過A作AH⊥DE于H，∴AH=DH=DE，∴S△ADE=DEAH=×=，∴DE=；

（3）∵∠EOF=∠AOB=120°，∴∠OEB=∠AFO，在△AOF與△BOE中，∵∠OBE=∠OAF，∠OEB=∠AFO，OA=OB，∴△AOF≌△BEO，∴OE=OF，∴∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，∴∠AFO=∠GFO，過O作OG⊥EF于G，∴∠OAF=∠OGF=90°，在△AOF與△OGF中，∵∠OAF=∠OGF，∠AFO=∠GFO，OF=OF，∴△AOF≌△GOF，∴OG=OA，∴EF是⊙O的切線．