Question

（2013•孝南區一模）已知，如圖所示，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，AC交于⊙O于點E，∠BAC=45°，給出以下四個結論：
①BD=CD；②∠EBC=22.5°；③AE=2EC；④

AE

=2

DE

（

AE

，

DE

為劣弧）
其中正確結論有（　　）

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

Answer 1

分析：①首先連接AD，易得AD⊥BC，又由三線合一的性質，可證得BD=CD；
②由等腰三角形的性質，可求得∠ABC的度數，又由圓周角定理，可求得∠ABE的度數，繼而求得∠EBC的度數；
③在AE上截取EF=EC，連接BF，易得BF是△ABE的角平分線，繼而可得AE≠2EC；
④由圓周角定理，分別求得∠EOD與∠AOE的度數，即可得

AE

=2

DE

．

解答：解：①連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD；故正確；
②∵∠BAC=45°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=67.5°，
∵∠ABE=90°-∠BAC=45°，
∴∠EBC=22.5°；故正確；
③在AE上截取EF=EC，連接BF，
∵BE⊥AC，
∴BC=BF，
∴∠EBF=∠EBC=22.5°，
∴∠ABF=∠EBF=22.5°，
∵AB＞BE，
∴AF≠EF，
∴AE≠2EC，故錯誤；
④∵∠EOD=2∠CAD=45°，∠AOE=2∠ABE=90°，
∴

AE

=2

DE

，故正確．
故選B．

點評：此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質以及直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．