Question

【題目】如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于點C，其頂點為D．

（1）寫出C，D兩點的坐標（用含a的式子表示）；

（2）設S△BCD：S△ABD=k，求k的值；

（3）當△BCD是直角三角形時，求對應拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】(1) C（0，3a），D（2，﹣a）;(2)3;(3) y=x2﹣4x+3或y= x2﹣2x+ ．

【解析】（1）令x=0可求得C點坐標，化為頂點式可求得D點坐標；

（2）令y=0可求得A、B的坐標，結合D點坐標可求得△ABD的面積，設直線CD交x軸于點E，由C、D坐標，利用待定系數法可求得直線CD的解析式，則可求得E點坐標，從而可表示出△BCD的面積，可求得k的值；

（3）由B、C、D的坐標，可表示出BC2、BD2和CD2，分∠CBD=90°和∠CDB=90°兩種情況，分別利用勾股定理可得到關于a的方程，可求得a的值，則可求得拋物線的解析式．

（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得：y=3a，∴C（0，3a）．

∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；

（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得：x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD=×2×a=a．

如圖，設直線CD交x軸于點E，設直線CD解析式為y=tx+b，把C、D的坐標代入可得，解得：，

∴直線CD解析式為y=﹣2ax+3a，令y=0可解得：x=，∴E（，0），∴BE=3﹣=，

∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，∴k=3；

（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2．

∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD為直角三角形時，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°兩種情況．

①當∠CBD=90°時，則有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得：a=﹣1（舍去）或a=1，此時拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

②當∠CDB=90°時，則有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得：a=﹣（舍去）或a=，此時拋物線解析式為y=x2﹣2x+；

綜上可知：當△BCD是直角三角形時，拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+．