Question

【題目】閱讀：已知△ABC，用直尺與圓規，在直線BC上方的平面內作一點M（不與點A重合），使∠BMC＝∠BAC（如圖1）．

小明利用“同弧所對的圓周角相等”這條性質解決了這個問題，下面是他的作圖過程：

第一步：分別作AB、BC的中垂線（虛線部分），設交點為O；

第二步：以O為圓心，OA為半徑畫圓（即△ABC的外接圓）

第三步：在弦BC上方的弧上（異于A點）取一點M，連結MB、MC，則∠BMC＝∠BAC．（如圖2）

思考：如圖2，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝10，E是CD上一點，DE＝2．

（1）請利用小明上面操作所獲得的經驗，在矩形ABCD內部用直尺與圓規作出一點P．點P滿足：∠BPC＝∠BEC，且PB＝PC．（要求：用直尺與圓規作出點P，保留作圖痕跡．）

（2）求PC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）作BC的垂直平分線，交BE于點O，以O為圓心，OB為半徑作圓，交垂直平分線于點P，則點P為所求．
（2）先根據AD=6，CD=10，DE=2知CE=8，BE=10，從而得OB=OP=5，再由BQ=CQ=BC=3得OQ=4，再根據勾股定理求解可得．

解：（1）如圖所示，點P即為所求：

（2）∵CD＝10，DE＝2，

∴CE＝8，

∵BC＝AD＝6，

∴BE＝10，

則OP＝OB＝5，

∵BQ＝CQ＝BC＝3，

∴OQ＝4，

則PQ＝9，

∴PC＝＝＝3．