Question

（2012•湖北模擬）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°．翻折梯形ABCD，使點B重合于點D，折痕分別交邊AB、BC于點F、E，若AD=2，BC=8，
求：（1）梯形ABCD的面積；
（2）BE的長；
（3）∠CDE的正切值．

Answer 1

分析：（1）由軸對稱的性質(zhì)可以得出△BFE≌△DFE，從而得出DE=BE，由∠DBC=45°可以得出∠BED=90°，過A作AG⊥BC于G，可以求出BG=3，可以求出BE的值．
（2）由DE=BE，可以求出梯形的高DE，根據(jù)梯形的面積公式可以求出其面積．
（3）由∠CDE的正切值=DE：CE，由（1）、（2）的結(jié)論可以求出其值．

解答：解：（1）（2）∵EF是點B、D的對稱軸，
∴△BFE≌△DFE，
∴DE=BE．
∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°．
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=8，
過A作AG⊥BC于G，
∵四邊形AGED是矩形．
∴AD=GE=2，AG=DE．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD，
∵∠AGB=∠DEC=90°
Rt△ABG和Rt△DCE中，

AB=CD AG=DE

，
∴Rt△ABG≌Rt△DCE（HL），
∴BG=EC=3．
∴BE=5
∴梯形的面積為：

1

2

（2+8）×5=25
 

（3）由（2）得，DE=BE=5．
在△DEC中，∠DEC=90°，DE=5，EC=3，
所以tan∠CDE=

CE

DE

=

3

5

．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，翻折變換，全等三角形的判定，解直角三角形的運用．