Question

下列命題正確的是（　　）

A．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形一定是平行四邊形

B．對角線相等的四邊形一定是矩形

C．兩條對角線互相垂直的四邊形一定是菱形

D．兩條對角線相等且互相垂直平分的四邊形一定是正方形

Answer 1

分析：A、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形不一定為平行四邊形，例如等腰梯形滿足一組對邊相等，另一組對邊平行，但不是平行四邊形；
B、對角線相等的四邊形不一定為矩形，例題等腰梯形的對角線相等，但不是矩形，應改為對角線相等的平行四邊形為矩形；
C、對角線互相垂直的四邊形不一定為菱形，例如：畫出圖形，如圖所示，AC與BD垂直，但是顯然ABCD不是菱形，應改為對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
D、兩條對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，根據題意畫出相應的圖形，如圖所示，根據對角線互相平分，得到四邊形為平行四邊形，再由平行四邊形的對角線相等，得到平行四邊形為矩形，最后根據矩形的對角線互相垂直得到矩形為正方形．

解答：解：A、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，
例如等腰梯形，一組對邊平行，另一組對邊相等，不是平行四邊形，
故本選項為假命題；
B、對角線相等的四邊形不一定是矩形，
例如等腰梯形對角線相等，但不是矩形，
故本選項為假命題；
C、兩條對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，
如圖所示：AC⊥BD，但四邊形ABCD不是菱形，本選項為假命題；

D、兩條對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，

已知：四邊形ABCD，AC=BD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
求證：四邊形ABCD為正方形，
證明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四邊形為平行四邊形，又AC=BD，
∴四邊形ABCD為矩形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD為正方形，則本選項為真命題，
故選D

點評：此題考查了正方形的判定，平行四邊形的判定，矩形的判定，以及菱形的判定，判斷一個命題為假命題，只需舉一個反例即可；判斷一個命題為真命題，必須經過嚴格的證明．熟練掌握平行四邊形、矩形、菱形及正方形的判定是解本題的關鍵．