Question

【題目】如圖，在△ABC中，BC邊上的垂直平分線DE與∠BAC的平分線交于點E，EF⊥AB交AB的延長線于點F，EG⊥AC于點G．

求證：（1）BF＝CG；

（2）AB+AC＝2AF．

Answer 1

【答案】(1) 見解析；（2）見解析

【解析】

（1）連接EB、EC，利用已知條件證明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF=CG；
（2）根據（1）中的條件證得Rt△AFE≌Rt△AGE，根據全等三角形的性質得到AG=AF，于是得到結論．

(1)如圖，連接BE和CE.

∵DE是BC的垂直平分線，

∴BE＝CE.

∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，

∴∠BFE＝∠EGC＝90°，EF＝EG.

在Rt△BFE和Rt△CGE中，

BE=CE，EF=EG，

∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)，

∴BF＝CG.

(2)∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，

∴∠AFE＝∠AGE＝90°，∠FAE＝∠GAE.

在△AFE和△AGE中，

∠FAE＝∠GAE ，∠AFE＝∠AGE，AE=AE，

∴△AFE≌△AGE，∴AF＝AG.

∵BF＝CG，

∴AB＋AC＝AF－BF＋AG＋CG＝2AF.