Question

如圖，已知四邊形ABCD，過它的四個頂點分別作對角線AC、BD的平行線，圍成的四邊形EFGH
（1）四邊形EFGH是什么特殊四邊形？請證明你的判斷；
（2）當四邊形ABCD是等腰梯形時，相應的四邊形EFGH一定是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種？證明你的結論；
（3）要使四邊形EFGH是矩形，則原四邊形ABCD必須滿足怎樣的條件？（只要寫出必要的條件，不需證明）
（4）解決了（1）、（2）、（3）小題后，你還有哪些發現？（至少寫一條）

Answer 1

（1）當ABCD為任意四邊形時，EFGH為平行四邊形．
證明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形．

（2）①四邊形ABCD是等腰梯形時，四邊形EFGH為矩形，
證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF．
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∴四邊形EFGH為矩形；

②若ABCD為矩形，則EFGH為菱形．
證明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF．
∴四邊形EACF，ACGH，EHDB，BDGF，EFGH均為平行四邊形．
∴EF=AC=HG，EH=BD=GF．
∵四邊形ABCD為矩形．
∴AC=BD．
∴EF=AC=HG=EH=BD=GF．
∴四邊形EFGH為菱形．

③若ABCD為菱形，四邊形EFGH為矩形．
證明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF．
∴四邊形EAOB，EFGH均為平行四邊形，
∴∠AOB=∠E，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥DB，
∴∠AOB=90°，
∴∠E=90°，
∴四邊形EFGH為矩形；

④若ABCD為正方形，四邊形EFGH為正方形，
證明：∵ABCD為正方形，
∴DB=AC，AC⊥BD，
∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF．
∴四邊形EACF，ACGH，EHDB，BDGF，EFGH均為平行四邊形．
∴EF=AC=HG，EH=BD=GF．
∴EH=AC=FG=EF=BD=GH．
∴四邊形EFGH為菱形，
∴AC⊥DB，
∴∠AOB=90°，
∴∠E=90°，
∴四邊形EFGH為矩形，
∴四邊形EFGH為正方形；

（3）當平行四邊形EFGH是矩形時，四邊形ABCD必須滿足：對角線互相垂直．

（4）當平行四邊形EFGH是菱形時，四邊形ABCD必須滿足：對角線相等．
分析：（1）根據條件證明四邊形EFGH的兩組對邊平行即可；
（2）根據等腰梯形，矩形，菱形，正方形的性質和判定方法分別證明即可；
（3）根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得EFGH為平行四邊形，再加上條件AC⊥BD，可證明∠E=90°，繼而得到答案；
（4）寫一個自己認為正確的結論即可，答案不唯一．
點評：此題主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四邊形的性質和判定，關鍵是熟練掌握特殊四邊形的判定與性質定理．