Question

如圖，OA和OB是⊙O的半徑，OB=2，OA⊥OB，P是OA上任一點，BP的延長線交⊙O于點Q，過點Q的⊙O的切線交OA延長線于點R．
（Ⅰ）求證：RP=RQ；
（Ⅱ）若OP=PQ，求PQ的長．

Answer 1

分析：（1）連接OQ，由QR為圓O的切線，得到∠OQR為90°，即∠OQB+∠PQR=90°，由OA與OB垂直，根據垂直的定義得到∠BOA=90°，所以∠B+∠BPO=90°，再根據對頂角相等及等角的余角相等，得到∠RPQ=∠RQP，根據“等角對等邊”得證；
（2）根據OP=PQ，由“等邊對等角”得到∠POQ=∠PQO，又根據半徑OB=OQ，再根據“等邊對等角”得到∠B=∠BQO，在三角形OBQ中，由∠BOA為直角，設出∠B=∠PQO=∠POQ=x，根據三角形的內角和定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為∠B的度數，進而求出∠QOR的度數，在直角三角形OQR中，根據30°的正切函數定義，由OQ=OB=2，即可求出QR的值，又∠RPQ=∠BPO=60°，PR=QR，所以三角形PRQ為等邊三角形，所以PQ=QR，得到PQ的長．

解答：解：（1）連接OQ，
∵QR是切線，
∴∠OQR=90°，
∴∠BQO+∠PQR=90°，
∵OA⊥OB，∴∠BOA=90°，
∴∠B+∠BPO=90°，又∠BPO=∠RPQ，
∴∠B+∠RPQ=90°，
由OB=OQ得：∠B=∠BQO，
∴∠RPQ=∠RQP，
∴PR=QR；

（2）∵OP=PQ，∴∠POQ=∠PQO，
又OB=OQ，∴∠B=∠PQO，
設∠B=∠PQO=∠POQ=x，又∠BOP=90°，
根據三角形內角和定理得：
∠B+∠BOP+∠POQ+∠PQO=180°，即x+90°+x+x=180°，
解得：x=30°，即∠B=30°（2分）
∴∠RPQ=∠BPO=60°，又PR=QR，
∴△PQR為等邊三角形，即PQ=QR=PR，
在直角三角形OQR中，OQ=OB=2，
根據銳角三角函數定義得：
PQ=QR=OQ•tan30°=

2

3

3

．（2分）

點評：此題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，以及直角三角形的性質．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．學生做第二問時，求出∠B的度數是解題的關鍵．