Question

如圖：已知△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是AB、AC、BC邊的中點，M是直線BC上的任意一點，在射線EF上截取EN，使EN=FM，連接DM、MN、DN．
（1）如圖①，當點M在點B左側時，請你按已知要求補全圖形，并判斷△DMN是怎樣的特殊三角形（不要求證明）；
（2）請借助圖②解答：當點M在線段BF上（與點B、F不重合），其它條件不變時，（1）中的結論是否依然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）請借助圖③解答：當點M在射線FC上（與點F不重合），其它條件不變時，（1）中的結論是否仍然成立？不要求證明．

Answer 1

分析：（1）連接DF，根據等邊三角形的性質與三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質可以證明DF=BD=EF=BF，然后證明BM=FN，∠MBD=∠NFD=120°，從而證明△BDM與△FDN全等，根據全等三角形對應邊相等可得MD=DN，對應角相等可得∠MDB=∠NDF，然后證明∠MDN=∠BDF=60°，所以△DMN是等邊三角形；
（2）連接DF，根據等邊三角形的性質與三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質可以證明DF=BD=EF=BF，然后證明BM=FN，∠MBD=∠NFD=60°，從而證明△BDM與△FDN全等，根據全等三角形對應邊相等可得MD=DN，對應角相等可得∠MDB=∠NDF，然后證明∠MDN=∠BDF=60°，所以△DMN是等邊三角形；
（3）沿用前兩問的思路，顯然不能證明△CDM與△FDN全等，所以△DMN不是等邊三角形．

解答：解：（1）如圖①，
△DMN是等邊三角形．

（2）如圖②，當M在線段BF上（與點B、F重合）時，△DMN仍是等邊三角形．
證明：連接DF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，AB=AC=BC．
∵D、E、F分別是△ABC三邊的中點，
∴DE、DF、EF是等邊三角形的中位線．
∴DF=

1

2

AC，BD=

1

2

AB，EF=

1

2

AB，BF=

1

2

BC．
∴∠BDF=∠A=∠DFE=60°，DF=BF=EF，
∴∠ABC=∠DFE，
∵FM=EN，
∴BM=NF，
∴△BDM≌△FDN，
∴∠BDM=∠FDN，MD=ND，
∴∠BDM+∠MDF=∠FDN+∠MDF=∠MDN=60°，
△DMN是等邊三角形；

（3）如圖③或圖④，當點M在射線FC上（與點F不重合）時，（1）中的結論不成立，
即△DMN不是等邊三角形．

點評：本題考查了等邊三角形的三條邊都相等，三個內角都是60°的性質，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質，以及有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形的判定方法，這種題目的求解思路一般都是每一小題的條件變化，各小題的求解思路相同，難度不大，但靈活性較高，希望同學們能夠熟練掌握，多出現為中考壓軸題．