Question

課題研究：現(xiàn)有邊長(zhǎng)為120厘米的正方形鐵皮，準(zhǔn)備將它設(shè)計(jì)并制成一個(gè)開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大．
初三（1）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)討論得出結(jié)論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大．為此，他們對(duì)水槽的橫截面進(jìn)行了如下探索：
（1）方案①：把它折成橫截面為直角三角形的水槽（如圖1）．
若∠ACB=90°，設(shè)AC=x厘米，該水槽的橫截面面積為y厘米²，請(qǐng)你寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出x的取值范圍），并求出當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽（如圖2）．
若∠ABC=120°，請(qǐng)你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案①中的y的最大值比較大小；
（2）假如你是該興趣小組中的成員，請(qǐng)你再提供兩種方案，使你所設(shè)計(jì)的水槽的橫截面面積更大．畫出你設(shè)計(jì)的草圖，標(biāo)上必要的數(shù)據(jù)（不要求寫出解答過程）．

Answer 1

分析：（1）①已知正方形的周長(zhǎng)，可求出其邊長(zhǎng)，即AC+BC的長(zhǎng)，即可表示出BC的長(zhǎng)，然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可得出y，x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出y的最大值．
②本題已知了AB+BC+CD=正方形的邊長(zhǎng)，可設(shè)AB為x，那么CD也為x，BC可用正方形的邊長(zhǎng)求得．過B、C作AD的垂線，通過構(gòu)建的直角三角形，用x表示出BE和AE的長(zhǎng)，即可求出上底AD的長(zhǎng)，然后根據(jù)梯形的面積公式即可求得y，x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得函數(shù)的最大值；
（2）由（1）的結(jié)果大致可推斷出折的邊數(shù)越多，面積越大，因此折的邊數(shù)無限多即折的圖形為半圓時(shí)面積最大，據(jù)此可列出不同的方案．

解答：解：
（1）①y=

x(120-x)

2

，
當(dāng)x=60時(shí)，y_最大值=1800；
②過點(diǎn)B作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
設(shè)AB=CD=xcm，梯形的面積為Scm²，則BC=EF=（120-2x）cm，
AE=DF=

1

2

x，BE=CF=

3

2

x，AD=120-x，
∴S=

1

2

•

3

2

x（240-3x）
當(dāng)x=40，S_最大值=1200

3

，
S_最大值＞y_最大值；


（2）方案：①正八邊形一半，②正十邊形一半，③半圓等．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圖形面積的求法和二次函數(shù)的應(yīng)用．