Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點.

a．原四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足________時，四邊形EFGH是矩形．

b．原四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足________時，四邊形EFGH是菱形．

c．原四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足________時，四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

【答案】AC⊥BD AC=BD AC⊥BD且AC=BD

【解析】

首先連接AC，BD，由三角形中位線的性質，可判定EH∥FG，GH∥EF，繼而可證得四邊形EFGH是平行四邊形;

a、由EFGH是平行四邊形可得當原四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形;

b、由EFGH是平行四邊形可得原四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足AC＝BD時，四邊形EFGH是菱形;

c、由a與b可得：原四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足AC⊥BD且AC＝BD時，四邊形EFGH是正方形．

連接AC，BD，

∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點，

∴EH∥BD，FG∥BD，

∴EH∥FG，

同理：GH∥EF，

∴四邊形EFGH是平行四邊形．

a、當AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形．

∵由①得：四邊形MONH是平行四邊形，

∴當AC⊥BD時，四邊形MONH是矩形，

∴∠EHG＝90°，

∴四邊形EFGH是矩形．

b、當AC＝BD時，四邊形EFGH是菱形．

∵HG＝ AC，EH＝ BD，

∴EH＝GH，

∴四邊形EFGH是菱形；

c、由a與b可得：原四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足AC⊥BD且AC＝BD時，四邊形EFGH是正方形．

故答案為：a、AC⊥BD，b、AC＝BD，c、AC⊥BD且AC＝BD．