Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B＝48°，∠C＝62°，點E、點F分別在邊AB和邊AC上，將把△AEF沿EF折疊得△DEF，點D正好落在邊BC上（點D不與點B．點C重合）．

（1）如圖1，若BD=BE，則△CDF是否為等腰三角形？請說明理由．

（2）△BDE、△CDF能否同時為等腰三角形？若能，請畫出所有可能的圖形，并直接指出△BDE、△CDF的三個內角度數；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△CDF不是等腰三角形，理由見試題解析；（2）△BDE、△CDF能同時為等腰三角形，內角度數為：∠BDE＝∠B＝48°，∠BED＝84°，∠FDC＝∠C＝62°，∠DFC＝56°．

【解析】

試題分析：（1）利用三角形內角和算出∠A，等腰三角形性質算出∠BDE，再用折疊性質得到∠EDF=∠A，根據平角性質得到∠CDF，再算出∠DFC，進行判斷即可；（2）若△BDE為等腰三角形，共有三種可能：

①BD=BE；由（1）可知，若BD=BE，則△CDF不是等腰三角形；

②BE=ED，可得：∠EDB=∠B=48°，又∠EDF=∠A=70°，得到∠FDC的度數；進行判斷即可；

③BD=ED，同樣求出∠BDE和∠CDF，∠DFC，然后進行判斷．

試題解析：（1）△CDF不是等腰三角形；理由：

∵∠B＝48°，∠C＝62°，∴∠A＝180°-48°-62°=70°，

∵BD=BE，∴∠BDE＝(180°-48°)÷2=66°，

∵△AEF沿EF折疊得△DEF，∴∠EDF=∠A＝70°，

∴∠FDC＝180°-66°-70°=44°，∴∠DFC＝180°-44°-62°=74°，

∴△CDF不是等腰三角形．

（2）△BDE、△CDF能同時為等腰三角形．

∵△BED為等腰三角形，共有三種情況，BD=BE，BE=ED，BD=ED.

①若BD=BE；由（1）可知，若BD=BE，則△CDF不是等腰三角形；

②若BE=ED，可得：∠EDB=∠B=48°，又∵∠EDF=∠A=70°，∴∠FDC=180°－48°-70°=62°，∵∠C=62°，∴△DFC是等腰三角形，此時：∠BDE＝∠B＝48°，∠BED＝84°，∠FDC＝∠C＝62°，∠DFC＝56°；

③若BD=ED，則∠B=∠BED=48°，∴∠EDB=180°－48°－48°=84°，∴∠FDC=180°－∠EDF－∠BDE=180°－84°－70°=26°，∠DFC=180°－∠C－∠CDF=180°－62°－26°=92°，此時△DCF不是等腰三角形；

∴只有一種情況：∠BDE＝∠B＝48°，∠BED＝84°，∠FDC＝∠C＝62°，∠DFC＝56°．