Question

張大爺種茶樹共50苗，其中丘陵地20畝，山地30畝，每畝丘陵地產量y₁（千克）與每畝投資x（百元）之間的函數關系式為，每畝山地產量y₂（千克）與每畝投資t（百元）之間的關系如圖所示，張大爺現在總投資金240（百元）．
（1）試求張大爺每畝丘陵地投資6（百元）時，50畝地茶葉的總產量是多少千克；
（2）直接寫出張大爺家茶葉總產量W（千克）與丘陵地每畝投資x（百元）之間的函數關系式，并指出x的取值范圍；
（3）當x取何值時，茶葉的總產量最高？最高產量為多少千克？

Answer 1

【答案】分析：（1）直接將張大爺每畝丘陵地投資6（百元）時，代入解析式即可求出每畝產量，進而求出總產量；
（2）根據x的取值范圍是w，分別求出解析式相加即可；
（3）根據二次函數的對稱軸得出最值，再根據公式求出最值即可．
解答：解：（1）根據題意得：y₂=，
∴20x+30t=240，
∴當x=6時，t=4；當t=6時，x=3，
因此每畝丘陵地投資6（百元）時，50畝地茶葉的總產量是：
∴50畝地茶葉的總產量是20×[-×（6-8）²+36]+30（3×4+15）=1510千克；

（2）根據圖象可以求出：0≤t≤6時，
y₂=kt+b，將（0，15），（6，33）代入求出即可：
，
解得：k=3，b=15，
y₂=3t+15，
當t＞6時，
y₂=33；
又因為t=（240-20x）÷30=8-x，
①由，
∴x的取值范圍是：3≤x≤6，
W=20×[-（x-8）²+36]+30×[3（8-x）+15]=-5（x-2）²+1590；
②由，
解得：0≤x＜3，
W=20×[-（x-8）²+36]+30×33=-5（x-8）²+1710；
③由，得6＜x≤12，
W=35×20+30×[3（8-x）+15]=-60x+1870，
④由此方程無解；

（3）由（2）中①得，當x=3時，當x=3時，w最大=1585千克，
當由（2）中②得，當x=3時，當x=3時，w最大=1585千克，
當由（3）中③得，當x=-=6時，w最大，根據一次函數的增減性可知，當x=6時，w最大=1510千克．
故當x=3（百元）時，茶葉總產量最高，最高產量1585千克．
點評：此題主要考查了二次函數的應用，分別得出函數解析式再根據函數增減性求出是解決問題的關鍵．