Question

如圖，在△ABC中，DE∥BC，且DE=

2

3

BC，BE與CD相交于點O，AO與BC、DE分別交于點M、N，CN與BE交于點F，連接FM，求證：FM=

1

4

AB．

Answer 1

分析：先證明N為重心，然后延長CN交AB于G點，則G為AB中點，FM為中位線，由此得證．

解答：證明：∵DE∥BC，且DE=

2

3

BC，
∴△ADE∽△ABC，△AEN∽△AMC
∴

DE

BC

=

2

3

=

AE

AC

，

AE

AC

=

AN

AM

，
∴

AN

AN

=

2

3

，即

AN

NM

=2：1．
∴N為重心，∴BM=MC，
延長CN交AB于G點，則G為AB中點，
由△NFE∽△BFC得

NF

FC

=

NE

BC

=

1

3

，
∴FC=

3CN

4

，∵CN=

2

3

CG，
∴FC=

1

2

，所以F為中點，則FM為△BCG的中位線，
∴FM=

1

2

BG=

AB

4

點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定和性質的理解和掌握，解答此題的關鍵是利用重心到頂點的距離與重心到該頂點對邊中點的距離之比為2﹕1．證出FM為中位線，然后即可證明．