Question

【題目】如圖,菱形ABCD中,邊長為2,∠B=60°,將△ACD繞點C旋轉(zhuǎn)，當AC（即A′C）與AB交于一點E,CD（即CD′）同時與AD交于一點F時,點E，F(xiàn)和點A構成△AEF。試探究△AEF的周長是否存在最小值,如果不存在，請說明理由；如果存在,請計算出△AEF周長的最小值.

Answer 1

【答案】2+

【解析】試題分析：根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及∠B=60°，可得△ABC，△ACD和△A′CD′是等邊三角形，推出∠BCE=∠ACF，證出△BCE≌△ACF（ASA），得出BE=AF，CE=CF，推出△ECF是等邊三角形，根據(jù)CF的最小值為點C到AD的距離，即EF的最小值是，可求出△AEF的周長的最小值.

試題解析：△AEF的周長存在最小值。理由如下：

根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及∠B=60°，可得△ABC，△ACD和△A′CD′是等邊三角形，

∴∠BCA=∠BCE+∠ACE=60°，∠ECF=∠ACF+∠ACE=60°。

∴∠BCE=∠ACF

在△BCE與△ACF中，

∴△BCE≌△ACF（ASA）

∴BE=AF，CE=CF，AE+AF=AE+BE=AB，

∵∠ECF=60°，

故△ECF是等邊三角形，

EF=CF

∵CF的最小值為點C到AD的距離（如圖），

∴EF的最小值是。

∵△AEF的周長=AE+AF+EF=AB+EF，

∴△AEF的周長的最小值為2+。